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代数几何小科普0: 从埃及分数的分拆问题管窥代数几何(转)

博主按:这篇小文章是由博主以前在百度贴吧上所写旧稿整理而得。

我们把1/n这样的分数叫做单位分数或埃及分数(因为据说古埃及人喜欢把有理数分拆为这种分数的和) 。




如何将一个有理数p/q分拆成不同的埃及分数之和,是一个很有趣的问题。如果你对这种分拆加上不同的限制条件,会得到许许多多未解决的数论猜想。有兴趣的读者可以参看相关的百科词条或参看柯召、孙琦的《单位分数》一书。此处不再赘述其历史及研究现状等。




博主这里提供一种新的初等方法将既约分数p/q(<1)分拆为埃及分数。

第一步, 找小于q的正整数r, 使得pr-1能为q所整除。

第二步:将q/r表示称如下形式的连分数

e1-1/(e2-1/(e3-...-1/(es-1-1/es)...)), 这里ei是大于等于2的正整数.

第三步: 构造严格递减的正整数序列

n0=q,n1=r,nk+1=eknk-nk-1,

实际上最后一项ns=1.

第四步:我们得到埃及分数的分拆

p/q=1/(n0n1)+1/(n1n2)+...+1/(ns-1 ns)

这个分拆的一个特点是,分母逐项递减。

举个例子说吧,我们取p/q=5/13,

第一步,取r=8,

第二步:13/8可写为连分数

2-1/(3-1/3)

第三步:构造数列

n0=13,n1=8,n2=3,n3=1.

第四步:5/13=1/104+1/24+1/3.

这个方法的证明只需要用到初等数学技巧,自不必多言。博主这里想谈谈它的几何背景。

在代数几何中,人们关心一个方程(或方程组)的零点集合构成的几何图形的性质。比如古典解析几何里,人们关心一次方程:

ax+by+c=0

所描绘的直线以及二次方程

ax2+2bxy+cy2+dx+ey+f=0

所描绘的圆锥曲线的几何性质。

有些方程所描绘的图形不一定是光滑的,上面带有奇点--就是摸上去尖锐的、不光滑的点。

比如xy=0描绘了两条交叉直线。它的原点就是一个奇点。在该图像上其他地方当然都很光滑。




我们也可以考察三维空间中的二次锥面

z2=xy

它的形状就是常见的锥形冰激凌、其原点是一个尖锐的锥点--也就是奇点。锥面就是由一族通过原点的直线组成的曲面。




我们也可以进一步考察三维空间中更复杂的几何图形

zn=xayb

这个曲面通常比较坏,也就是说上面奇点很多(这些奇点构成了一些线,叫做非正规轨迹)。直观地理解,这个曲面被挤压出很多褶皱。通过一些技术手段,我们可以把这个曲面的背景空间放大到更高维度的空间中,这样曲面就能自由舒展开来,打开褶皱,最终能保证曲面只在原点处有一个奇点。

这个奇点叫做Hirzebruch-Jung奇点。




我们前面的埃及分数分拆解法就和Hirzebruch-Jung奇点密切相关。 请想象一下,这个奇点是你脸上的一个痘痘,你用手指把它挤爆了。在数学上,有类似的方法,叫做奇点解消。就类似于把奇点挤爆掉。奇点解消后,原来的奇点就变成了一些线。这些线叫做例外曲线,因为它们是从奇点里挤出来的,不是原来曲面上的线。解消后的新曲面没有了奇点,也就光滑了。

打个形象比方,比如二次锥面

z2=xy

你把锥点戳破了,使劲拉开口子,锥点就成了圆环。原来的锥面就成了柱面。这就是奇点解消的直观意思。







Hirzebruch-Jung奇点如何解消呢? 首先, 我们可以把原来的方程替换成形如

zn=xyn-q, 这里q是小于n的正整数.因为可以证明替换后的曲面奇点与原来是一样的。

第二步,就是来具体解消这个奇点--称为Hirzebruch解消

首先考虑连分数

n/q=e1-1/(e2-1/(e3-...-1/(es-1-1/es)...)),

然后可以断言,例外曲线是一连串的直线首尾相接而成的链条--称作Hirzebruch-Jung链。

我们可以依次对它们编号e1,e2,...,es. Hirzebruch-Jung奇点与Hirzebruch-Jung链是一一对应的。因此奇点的几何信息可以从链的组合信息读取出来。比如,我们可以用前面例子中的数列n0,n1,...,ns??来定义一个拓扑量??

1/(n0n1)+1/(n1n2)+...+1/(ns-1 ns)

这个量就是前面用来求解埃及分数分拆问题的关键工具。博主无意中找到埃及分数的上述分解法,也正是来源于这一几何背景。

Hirzebruch-Jung奇点的许多几何拓扑性质都与数论性质紧密相连(比如连分数,戴德金和,以及前面的例子)。如果你要研究这方面的数论问题,就可以考虑构造所需的奇点,用几何方法去研究它。反过来,这个奇点的几何性质也能通过连分数的数论性质来刻画。

尽管这种奇点在复数域上相比其他曲面奇点来说比较简单,且已经有了很成熟的讨论,但是在特征p域上,这类奇点还剩下许多没有能够解决的代数几何问题。博主曾经听专家Lorenzini做过一个与此类奇点相关的报告,有一些在复数域上看似简单的问题到了特征p上就变得非常困难。

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